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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 3Rp@H <G#  
2k>G*P  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. Gj1sW8.  
wvvRKrn"  
　　1、三角函数本质： _v%,#~P  
{~ByEh~J  
　　三角函数的本质来源于定义 }+K7j[{~^  
l+v2m}h1  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 <a%t*X^  
)d"/@'`  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 <0,]u xL  
*?ob`8@MB  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： S5W0fN!  
-(p6<d;$  
　　推导： O@Wfcv  
C@()](3_  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 St\F,YiOH  
qnE>:ile  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) <Ns8yXQOm  
:m:<Qk4L  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) `t\Ueu  
X ~X\cp  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ?N/BLh  
'l Et$'  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ,Xp(JI:[  
v0Jm+U#  
　　[1] o8K[@DGI<  
j4;qodLe  
　　两角和公式 f-k95  
1,>Do\  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Q@S-t4  
1)N3B $e  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  ]Rkb\  
_ _Ngo %&  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB A f'"Yu  
IBz"AN_ B  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB w2+=Ex  
$+b}U[S  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) wet^hMb   
I1sjJ\  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ).}|:y 3  
Fs?96Wdir{  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  , zV4  
zcQ;Z}+!  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ^fM^ixpdV  
k)h>?W 5  
倍角公式 J0+BX!d(E  
g>haEd =  
　　Sin2A=2SinA•CosA 8D3il"  
77nC'hWOZ  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 r,(61zz96  
.O $?So  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） cBfqy3Yi$  
%ipx+X  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） *?yX:(t$  
~G H0!A-  
三倍角公式 <4~N u=ig  
!hH{>P<R  
　　 %FnI8fL~  
LH .r=U(4  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 8i\rN~E  
# NZ@u(2  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) OljZ]T  
pn[T?{m  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) y%6PeK09N  
_Ff8quBda  
三倍角公式推导 DlZ !}  
FgiTLDg  
　　sin3a $t<?q4Y  
*"0GTG;r  
　　=sin(2a+a) Ol5=*)^"  
Fi ZNf>  
　　=sin2acosa+cos2asina |LU+4gKF  
i?&]7sEjP  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ,5P(n!7gw  
r$cn|  
　　=3sina-4sin³a ^3MI\iQ  
[$ 5?q1  
　　cos3a A8Z*o<8\)  
XW9@5T8  
　　=cos(2a+a) 5NL9Vwr  
kY2Tv;T  
　　=cos2acosa-sin2asina fmm4_/< \  
/$] S  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa xqh"`  
zzpM#T  
　　=4cos³a-3cosa zmT :k72  
/b1T~\&J  
　　sin3a=3sina-4sin³a h $4[]8$@  
mGifYUH-  
　　=4sina(3/4-sin²a) hr ' :`  
H6Z#[p  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] jc#^Z=!h  
p555*  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) m&|V,  
ws-&9q  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) `ml! g  
74o|.~|  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] )C^'1"H!  
pDN]S  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) G-{1 tL\.  
iE )p?O0  
　　cos3a=4cos³a-3cosa RaSED"g  
[,>CD.6R  
　　=4cosa(cos²a-3/4) $jX|Cw  
_0SW7Xv  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] WWbh<nh  
Su]"[s 6fm  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) H0}+[:S"  
$ vny  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) \I'bC )  
5TP7}7'Q3  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} t Cn]d.  
b^JUE c'(  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) aa5^9 dz  
/%lBD\  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] IlnFUPj  
 O8u$)P  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 2=$Y}_=W-J  
VH]x &g6  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) szb)vZ*z  
N |qr^q  
　　上述两式相比可得 xPGR/dpi  
$"yna '  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 9yhDIz=Z  
ghu5s9;  
半角公式 Pik^v "$  
kLkU;>~L-  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); OXa0bX  
0r0!:bkg]H  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 8F>LEPD=  
9eiWTx27D  
和差化积 64l9ZjwnJ  
^=L_.b\u2m  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] m9{[Z?4K  
(vkO B{cF  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] l{?&1as9  
3Xmo6  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] N5fy%P  
3Rt+Wm  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] /;(, [61+8  
GO[VMa \u  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 8~<FR6I  
k!}:jH6UD  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) FG\`P7y  
@rS@enTmA  
积化和差 ',]%3bW H  
_ }$}*y0  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] @TjDP{(M  
gV4{E@  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] Y~S1e4o  
M,z/Ri_  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] fU)Z?I+4n  
Yl #^2A3  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Wsnpu `  
5ShXq^Gl  
诱导公式 fR2\& <|  
IA* VA  
　　sin(-α) = -sinα ZF\l;&t  
AOE=DW:_ZK  
　　cos(-α) = cosα ) <&(  
$;9RY} _  
　　sin(π/2-α) = cosα '}@tz:  
Is,#W@f  
　　cos(π/2-α) = sinα <Bl ^#  
5&K9 _PzJ  
　　sin(π/2+α) = cosα 6IMDZqB ~d  
E]([!hS`  
　　cos(π/2+α) = -sinα ;gf)oZG  
AlrIbRxKz  
　　sin(π-α) = sinα  IE{?#k  
s eJ*BT8  
　　cos(π-α) = -cosα j?%}8,F|m:  
b5V)l1  
　　sin(π+α) = -sinα F HuKnq}  
>y+-?E]qz  
　　cos(π+α) = -cosα "{4v]LI  
N8H`,FV|AI  
　　tanA= sinA/cosA A._Wo/en&(  
@V|G  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 4%"=>W  
5qID#n1  
　　tan（π/2－α）＝cotα ^1%#Xrr*G  
ExcLq  
　　tan（π－α）＝－tanα qR^?% V  
VNT,vV  
　　tan（π＋α）＝tanα "g.E aE  
U )iD4b  
万能公式 E pc  k4  
()aMIs,  
　　 1~ol  
ds%qN9 }  
其它公式 o{!4SAP  
Dav}+ra  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 K?!q# :G  
y_vt]a< $  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 CBwG% ]!0  
!vV#6I[G^  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 KsT& ;  
S-@;mAb  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 Kh7tE%|D  
eb`y=Q  
　　对于任意非直角三角形,总有 zPXEK Fa  
9YjOJ-VxH4  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC )lK;#Ya9  
AMGn8Y6d<  
　　证: x9$}R  
P~yl<DC{  
　　A+B=π-C w~Yj8>5  
o`dk#UKy  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 6k,#w7AU9  
F.{O:O&S  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) m]\3.i($  
@ <<KI?  
　　整理可得 Uf|}<,Rr%  
T~$ +  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC :r^QkW*  
UtyK1  
　　得证 l<"}+&${e  
DAC9l{x  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 d&1TxY":  
/`U D?n  
其他非重点三角函数 :y>SFbDI  
<_v;WBQR(  
　　csc(a) = 1/sin(a) 6[p7G  
0SRi;euorb  
　　sec(a) = 1/cos(a) J~b1me1t  
y| )$;M  
　　 Zv35dw  
1g(pTj r  
双曲函数 TraFR<?Z  
TfM+*%0-,  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 Zh.+3(ISG  
,m7C\BDoU  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 #!9o<~QAK  
Md:SI  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) uVXk>  
JsA,.^  
　　公式一： bMbR  
>5s=31R|  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： hN0   
k&}J<3oEE  
　　sin（2kπ＋α）= sinα BKcqo0  
MWW8' d5  
　　cos（2kπ＋α）= cosα )-`H4)y  
8e5p51l7YA  
　　tan（kπ＋α）= tanα y4*+l 1)  
$ f <*aG  
　　cot（kπ＋α）= cotα q 6AqKex3  
Q1w^v 3E  
　　公式二： i!eG5rV  
e }{)49 `  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： Zm 9M\2:  
5p]S2rL  
　　sin（π＋α）= -sinα v@Bz|  
4yB0o6_  
　　cos（π＋α）= -cosα *)Z+1S3R  
N_l@L e:A  
　　tan（π＋α）= tanα g][N[/^  
,gP#|R7;  
　　cot（π＋α）= cotα @SnZi"  
-|HLsG Hr  
　　公式三： vr(^*)-  
Qt-~   
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： -#5+igW  
hbBFji:@  
　　sin（-α）= -sinα o'J  
1t[0)X  
　　cos（-α）= cosα # -urP+l  
Jg\WML.X  
　　tan（-α）= -tanα Wk;R)>&  
ou7e\,;  
　　cot（-α）= -cotα E4?i,S+  
E . IXW  
　　公式四： A[z,~s{Jow  
gjw,{W  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： dz%l&==^  
./4C Q^a  
　　sin（π-α）= sinα HtuX{5%  
o`}S9$^  
　　cos（π-α）= -cosα W-qlb  
7r8|}j)L  
　　tan（π-α）= -tanα +O]3s,  
ijkN)? G  
　　cot（π-α）= -cotα +1jXF^Q6w$  
%_dY/ L~e  
　　公式五： |?J`;8_f  
bxx\![3  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： )<0X^S  
F0Pn_3w;FE  
　　sin（2π-α）= -sinα cgE$d?k  
ZEW0=a1  
　　cos（2π-α）= cosα {0i!y"  
VslA] G  
　　tan（2π-α）= -tanα Z[Ce fh  
.VR5>l  
　　cot（2π-α）= -cotα 8V\Zil  
vnXH"!+  
　　公式六： _9i#D_-F  
Vt49F4Vguv  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： ERor_jm  
` YsDzr>!  
　　sin（π/2+α）= cosα OVP{3'V!  
|n rI:  
　　cos（π/2+α）= -sinα 3Fy 6RAc  
9n-8$ rL|  
　　tan（π/2+α）= -cotα ku\&VF#  
#~,xjC  
　　cot（π/2+α）= -tanα _?$i > 6M  
T#T2,@ _z  
　　sin（π/2-α）= cosα 8GSx4?dI  
A R(W=  
　　cos（π/2-α）= sinα +$6caaK47  
56Zq6"9)  
　　tan（π/2-α）= cotα W`QdU?f,  
g"i;mN  
　　cot（π/2-α）= tanα bef!RiJ1  
r^T0\NIb^  
　　sin（3π/2+α）= -cosα _ :8G2  
AxT*ps  
　　cos（3π/2+α）= sinα H J\>8$Lc  
*|:eK  
　　tan（3π/2+α）= -cotα g*d?wHL  
C3ZXn0^eI7  
　　cot（3π/2+α）= -tanα k\;f!=#+_  
?^o~9S+Aw  
　　sin（3π/2-α）= -cosα }+7Yv=F  
D#[V8,j  
　　cos（3π/2-α）= -sinα _LZ[ Mkc  
qq^qg6D  
　　tan（3π/2-α）= cotα S;?~([O%?L  
9)^/\"  
　　cot（3π/2-α）= tanα .6Q<D  
8Rfg p67  
　　(以上k∈Z) 9 D'k][ B{  
esSNT`W 9  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 1V]G&<a  
IDwq$"J  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = S:|Ne  
rD@L/8`B/  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } cj7aF:~  
Z KQNa M3  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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