日历

2025 - 3
日 一 二 三 四 五 六
      1
2345678
9101112131415
16171819202122
23242526272829
3031     
«月» 2025 - 3 «年»

存　档

日志文章

上一篇/ 下一篇

2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 :mY8^vb TX  
$yz4   
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. /%'4|H1t]  
j-;][t=F`x  
　　1、三角函数本质： zVLLFmm  
m/+|   
　　三角函数的本质来源于定义 U E4twR$  
y58[pk8gGR  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 zkZgNSs  
H8 g`<Zy  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 3KMr;V  
FttPC}@}Gw  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 4?V aR-b  
RpxN8I2E  
　　推导： 0~20p!W  
mS$f ^6  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 52T[&{ :yT  
;:yK8`  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) #g9)xdXg  
68/#h;F&  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) M{})ceq<=  
0 C$+.x  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 {{x;#p3(k  
QD3=~dG  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） KS8%= (  
8&DLz%G  
　　[1] -Gryq57>k  
J;mk+u!=C  
　　两角和公式 k$?C7Ua,  
[?wXv"h  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB HH!25iAH  
mL6YFDq(  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  HylP1\Oe;  
x&OE=D  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB gRU}#Y  
bNarYzW':  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB yW3: 7}  
gyf` n}M  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) V ::Iyk~H  
@)_UKoNG  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) RWj9pPRK  
#vc{;fFuW  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  RFgwD[V  
AD{&`f  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) -b d5 vM  
8MmeM|]}@h  
倍角公式 eY yiwji  
J@!K7X\P  
　　Sin2A=2SinA•CosA Xy?L~dw`  
m5''DHQ  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 rQ%tA n  
B_[]}1G K  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） J?@wz:  
s{CQ-a_  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） xN4Q(z`9  
R}dAim"X  
三倍角公式 p4U /  
WGb%C5kw  
　　 lrTc\?9}5)  
4Or!PF>_0  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) lnZ@BP8t^  
8s>L_(hE  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 4|P)u@{PJ  
])Gp!s&rm  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ~,7y._  
|z?,]vf  
三倍角公式推导 ((4iFkbu  
fjQ |RK  
　　sin3a 'WQq5tvku  
wc$s>+&02R  
　　=sin(2a+a) +P uu`  
r "VwE#AF  
　　=sin2acosa+cos2asina 9{az d  
aad_Svn(  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 7YA[PNq"C  
3n|gV~7cM  
　　=3sina-4sin³a CT5l;o&  
,k]..2)?  
　　cos3a Z&>R8j1UV  
A5uYTHD]M  
　　=cos(2a+a) H94J|*&.  
&Fj5s<4jiG  
　　=cos2acosa-sin2asina ?0@I2E"(k  
(9U+`*?}K!  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa :N nF*Omf  
WN/*+%u  
　　=4cos³a-3cosa cqDVI~=+J  
.T*(Vh  
　　sin3a=3sina-4sin³a X4\[8+lS2  
3`DmNUiJ  
　　=4sina(3/4-sin²a) 3}Z9N~  
U[Yr@|  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] O&Q_I]:vO  
'< !YN&  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) I$ cEc,Js3  
g@/_ak.\(  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) ATeS]rWb  
jOA9% F b  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] F U'1};_  
e_+(\ <  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) g*Ml6%qk  
Om6~C5"+  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 9>dnJdM  
8 =D}Pq  
　　=4cosa(cos²a-3/4) HVi|eU _  
?@yIOm@K  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] R-av=Jgyy  
?Sx%tgw6c  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) cb|7  
tirQz w6  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) *LC{x7 3  
3BA1]T t  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} +9t'0T0P6X  
i## V  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) Rz 9g  
9p.`GU[G  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] I6>j!k{r  
%n40xXd _  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] WuqA| h\  
fb6 ]p$*W  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 'f>> sb=Q  
rr aa*@  
　　上述两式相比可得 PQQ+MDO W  
C'  snxX  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) IfhH=!  
q> jd?ul  
半角公式 bsLc2GX  
aP@;5;?ifO  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); =lG?x ni  
j^9q*y  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. DL%C(&X3a(  
,XqMfg r(  
和差化积 \>gw .'  
&\4(X*  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] [*4+rtb$  
^q):RTd xO  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 3k\W3-z  
E06+x<Q  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] HfF;f5N  
J@ {w)vn  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] GWcV^Z4]  
?AU"1hn\n;  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) GEA +{2  
Rp=0`2|V'  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) da\I<_,n7  
U'Be* +W3  
积化和差 ;goM1RM>  
x<,!X [skU  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] }p UgUg&_  
D3JHXc+"K  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 5< 5c c)8  
} l/C\{;  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] p2LNE@Rv  
Flexb  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ]bMPU"J  
?&RN5mX  
诱导公式 B,r9 ^S  
V_~:mD)wq  
　　sin(-α) = -sinα gw~nwxN#  
os#IcmChy  
　　cos(-α) = cosα p7, ;rf  
[uFXXT  
　　sin(π/2-α) = cosα Ipx$DVf  
 [w7-W  
　　cos(π/2-α) = sinα /yN Oj\-.F  
Ky)x34,  
　　sin(π/2+α) = cosα XbsSPkS#.  
GSOer  
　　cos(π/2+α) = -sinα BZ#$-sZ  
DJ$ %f(i  
　　sin(π-α) = sinα 2`j.^m]N  
4l3vmJh.M  
　　cos(π-α) = -cosα +y?EkjfeS  
/9+"8'Q'  
　　sin(π+α) = -sinα ?Gn/p+e /W  
LG ,aR2?F(  
　　cos(π+α) = -cosα H,/WJ*%gB  
HNolVR}f4  
　　tanA= sinA/cosA qGuD)0Qq  
,#{} W  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ~#){r1f  
$%0#  
　　tan（π/2－α）＝cotα BinW0tR/  
!y@(Gp  
　　tan（π－α）＝－tanα q.07hN($  
$egg"{ D  
　　tan（π＋α）＝tanα rn]SJP X[  
3QI;wy&+  
万能公式 Cwj k)c!  
ESOj6RF%  
　　 E1_s^T@J  
'uOt<qA  
其它公式 S~qUEk?=  
k?WpAu  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 %b i%ZgI  
%-sWvS&K  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 X7T|z{_;G  
&oaf-6FQ  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 =FitD#dj  
]?k+ x>`  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 1!YZ^ihg  
A=aU gEIn  
　　对于任意非直角三角形,总有 g t.vL*b  
| 6pkh\ni  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC pJ7f= &+.  
,NJ7 h  
　　证: BJ\  
i;H@[W  
　　A+B=π-C wNrDxo\9j  
wM9s-P  
　　tan(A+B)=tan(π-C) oV9& -}A  
CE3MZgT1  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) +MMt2e5=M  
Y4i=;Pt:l  
　　整理可得 <W 9)g  
:caI@  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC z3.~3  
_owx69 X  
　　得证 y7wTU hI>|  
[z`,M8nF  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ;="$X{eE$  
|FF<>t?2  
其他非重点三角函数 &L-r6R~v  
'S|J~!_z  
　　csc(a) = 1/sin(a) .^MId!7rN  
Kb?T>i&9<  
　　sec(a) = 1/cos(a) 8sbvq.p'  
X&q(0t $  
　　 nB`8n^ p  
W`",8A  
双曲函数 b^vt|4 dq  
*rVMXc^  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 s 3^[F  
3i( 'y|o  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 /*)wq;  
" ETg,  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) -\%d*Hz  
PhH}Yq>&O  
　　公式一： W`|oMHHS@c  
h8`' G  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 2G>{E_W`  
qgs`sucQ}  
　　sin（2kπ＋α）= sinα F %~c=* l  
+sD |f7u.  
　　cos（2kπ＋α）= cosα R#~OY%'  
zVuk]s'IL$  
　　tan（kπ＋α）= tanα I\S>{Z]x  
}e6$'85]  
　　cot（kπ＋α）= cotα )UKCHuld  
:J}[>k6b7  
　　公式二： Een,1-r6  
{G5F/K Os  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： Kt^^6R$  
qUv+K79k\  
　　sin（π＋α）= -sinα }bCB]kn)l  
{ Zp>m>  
　　cos（π＋α）= -cosα Y/R Uxl~  
|bF >d:8  
　　tan（π＋α）= tanα 9a `@PI{M3  
 D{$Q~A  
　　cot（π＋α）= cotα [E*P8P 0  
~)jj!=g-  
　　公式三： S' dXjgM  
f][7FK 5  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： |3*z sQp@  
d?uv:$ #  
　　sin（-α）= -sinα xGF03?j  
g)/6eH%)8  
　　cos（-α）= cosα y1Xalq  
/b>-V >>  
　　tan（-α）= -tanα F w /yz"R[  
8 R.!^  
　　cot（-α）= -cotα b^ ds'#(  
!{ipg7$pJ  
　　公式四： -T) '@=h  
4[|X/q  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： T"?8/6;  
WTE%PuSW  
　　sin（π-α）= sinα 3^ U7i_  
)y.u~al  
　　cos（π-α）= -cosα =ZA<)nV\  
_Zd4YN  
　　tan（π-α）= -tanα GMxGc<R  
i) 80T /<  
　　cot（π-α）= -cotα GA+E*Z#[  
~ W_uQQjz"  
　　公式五： ,{Gf W  
!A' Gag  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： c+XLY  
em'cqspf  
　　sin（2π-α）= -sinα %0/La V  
[C&vH>E  
　　cos（2π-α）= cosα g?/EdA  
L?,n GL  
　　tan（2π-α）= -tanα 97u UD=?>  
Q~WW[h]  
　　cot（2π-α）= -cotα R_> }5,1\Z  
SfSR7"aB%;  
　　公式六： 'w 42$?]  
FbAZXqdX  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 7}x6qQ  
)c~*N<  
　　sin（π/2+α）= cosα N.z -_w?  
TOb6 oJ  
　　cos（π/2+α）= -sinα f')Bt<8v  
s%a'(e7  
　　tan（π/2+α）= -cotα ~LwHz.\F  
Nx?1}q  
　　cot（π/2+α）= -tanα S5.,J d5M  
F)=`T:  
　　sin（π/2-α）= cosα @GxWe f6  
@PGFi O  
　　cos（π/2-α）= sinα qD37lR1LW  
b pOFe>X~  
　　tan（π/2-α）= cotα 1 bRDCI1@  
Tq"bltf  
　　cot（π/2-α）= tanα e&M "v<^  
:N*QU&oN  
　　sin（3π/2+α）= -cosα Vw_O ]ryZ  
X(8dOkE  
　　cos（3π/2+α）= sinα ~kk%Dk}O3)  
g'5j]MD/t  
　　tan（3π/2+α）= -cotα fV KR#i  
>p_L6|De  
　　cot（3π/2+α）= -tanα -^]k VNX[  
I$w3h  
　　sin（3π/2-α）= -cosα P12D>;"lT]  
>KVCdjwZ  
　　cos（3π/2-α）= -sinα /fcrgr.  
D4 wtY  
　　tan（3π/2-α）= cotα ?J X<c0`  
I=.f]':  
　　cot（3π/2-α）= tanα kiDgP `  
@k"8PE).  
　　(以上k∈Z) ?6P5 JtG  
\qAw<9 V}  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 2<.N7eEOD  
dmv!LWh  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = rk="?wi  
?]y5~V=A(  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } f,s(_Fd%  
fO^j3  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
类别： 收藏 |  评论(0) |  浏览(15749) |  收藏