三角函数内容规律 Jz 5\t%
Z}]7D(![
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. ,o!>Bi,sc
a=P}\d8<
1、三角函数本质: PO|70DX
}N.>@-dL
三角函数的本质来源于定义 d2+wjf,j
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[=naa
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 7#*})W
!0vRm$ 1B
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 "i} GAT
6_d*m#
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sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: D2,Q2y
`b 43r+
推导: 9,Zsc,
%
X Z&LQm
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 p)bv%(2.
{q4,_N9
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Nr"(-a:K>_
4tD@z%rW|g
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ~rHV g]8
k:O3u}OL+^
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ^hJ/>bp
PdN Z'}"S
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) 4p_xyDD
\XBl0XM
[1] y6WwQLy\
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两角和公式 oGC M>52'
#3tES_bK
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB u{
4`I:N
^SL;}h4
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB G[(Ia*6
PqUgGq:W
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB
SfwRVG
(ifF
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB AM2>lR4:
ST1'k3@7
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) !%|`l
cD?qMYmF[
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) \'D y3
*\ mj[
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) P)r\<y
4Zvq7>
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) n-T<E}
yX)B!@.30
倍角公式 QFG+07TM
RPR>'$!^m
Sin2A=2SinA•CosA 9b@\N|_ku
XNkw1P$\
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 2FZ3Vhi-
N3xNIr
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) l~ZuQjG
3H;gVs
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) OZ N Cv
JON.E~'
三倍角公式 b[RIp1
gtUz[>P M
Aq?.?'#Q
>P
2
-V;`Q
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) MhFd; w[sn
r (9FH}
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Lfb'=U[^
p
JZnamwMl
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) n!F Q=^wC
zjHC_D"6q
三倍角公式推导 `PDPrz<
Ft\~GI_% <
sin3a jdEsG^_
] ~d5'#>
=sin(2a+a) m+9&
!
T>JZWk
=sin2acosa+cos2asina uDRg9\o\
Tc,;2I0
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ]+1LDmS
..QJk\g+Q
=3sina-4sin³a :'^pWYfm
Iv0
J,n?`
cos3a 9s%.b?AF
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=cos(2a+a) ,F3"iqd @
{)N`_\C(
=cos2acosa-sin2asina ;dZ]xW
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dRIKg6=
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa &,:+3l&[m
7*]J/"aw
=4cos³a-3cosa )")A D
IJJS`nQ
sin3a=3sina-4sin³a !3~au
ArX:>l 5
=4sina(3/4-sin²a) A`@lcn{g
gy~i}u&s&
=4sina[(√3/2)²-sin²a] '8y#R^
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=4sina(sin²60°-sin²a) iFlGz\5=J
<73"nGM1
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) Nx8Sn]@J
`yp^IIPt
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] #f
l^ f6"
_;)9GJ
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) s{{p+N{)VL
NW14qd@;
cos3a=4cos³a-3cosa }b>/#u
.rz
!gAs0t}T{
=4cosa(cos²a-3/4) h#ke,eg
4#oUx)JXR
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] nbJ_hR5VKR
FE ,ay>Bu
=4cosa(cos²a-cos²30°) =)<|E}_?
S
,#4
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) CWiQ834"A
bLlf{"M
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ;6UO`
].o6f;@rK
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ]kp
A2
Y+ch3>$!PX
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ) _z&XR
y81SP;M#
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 4J@jN
L-[lsQ
z,
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) &K18gLXh
=&g`AS~
上述两式相比可得 .JpE_xjq
D(tf|m_
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) keHo/SQ
Fsd{%&<z
半角公式 +H@2C&F
>]pB18r
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); )n
%J!SFA
D}fB
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. lO%d/qu{
qRUBcS~
和差化积 Gx@0
qSB`
-d6 gGpeE
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] k}3/,t
x=:$@P&TF
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] /I=)m.&t
Z
k?<{57dwZ
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 1^5=J(!
p=Ik
P+;
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] :jNb4,r!T
Zue;cMI
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) huZ*|Z=x
cL!y5V
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) A1'EU_Ayrq
-
%~w#&"jR
积化和差 _%>j{Yln\
UtD?
=/
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ):\$EwQ
MFR Vts%
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] DFExrB
fE"3#n{F<
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] \XR:gI.7
fa<kcE/
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 4lfQ%
zpcB:hPZ%
诱导公式 B6/.e/VOM
^E8]
MeK
sin(-α) = -sinα !s[LM2uMa
O<)1gZ
cos(-α) = cosα l5<|-1-Hc{
`#/aw
sin(π/2-α) = cosα 0L3cFO]v
pf9S^Jkk
cos(π/2-α) = sinα `OvgR=Kk
Pl"i0&
sin(π/2+α) = cosα $pL#>GBj
B;<rv$4
cos(π/2+α) = -sinα f3=nW$C
ucvv[
,
sin(π-α) = sinα 3X\,;q &'
~#iCoqy
cos(π-α) = -cosα r<&$J:-
1(6 6@pmTi
sin(π+α) = -sinα cYvT-Qd
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%TU-
cos(π+α) = -cosα kEK}OaW>
Xs-h?Uo7L
tanA= sinA/cosA nx8uMit4
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tan(π/2+α)=-cotα qc98G=+o
L{"I+p,"=
tan(π/2-α)=cotα `ot& !~m
{&|R !
tan(π-α)=-tanα FV~.Hl
3J
8+>.K)W
tan(π+α)=tanα ssrh`mp
9!b 8Q
万能公式 &|~}0fp)g
o3^cuG'DD
I)LZC~B_Dn
r,mgPTp>j
其它公式 ^ ]Li9_
% |jU&
(sinα)^2+(cosα)^2=1 $r(/hmb?7
TAha0/-_
1+(tanα)^2=(secα)^2 ]
c(po~
V'd")&
x^
1+(cotα)^2=(cscα)^2 T<WF:zT{=
&&G-eqz
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 2nP,%kin"x
`%yls)_Y|v
对于任意非直角三角形,总有 >6;l^aJ:
cjrWwMSen
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC )
}k]NDL
0rJ"F3/H
证: R+{[X9v
?%nH!?
A+B=π-C ]0iDA>].D
G[jJ9d4>
tan(A+B)=tan(π-C) u$`>&.g
uFt\B?./g
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) "`ojb_
Z:i+<o'
整理可得 }W@Aq$
*qX^2k16
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC x?qkkOq(CV
c~{\or[8
得证 3=?mYC3>g
?tp qjoQ5
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 k$(~9Aw2)
6dO?uq!"FS
其他非重点三角函数 u?
J< |