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日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 Jz5\t%  
Z}]7D(![  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. ,o! >Bi,sc  
a=P}\d8<  
  1、三角函数本质: PO|70DX  
}N.>@-dL  
  三角函数的本质来源于定义 d2+wjf,j  
? [=naa  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。  7#*})W  
!0vRm$ 1B  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 "i} GAT  
6_d*m# <  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: D2,Q2y  
`b43r+  
  推导: 9,Zsc, %  
X Z&LQm  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 p)bv%(2.  
{q4,_N9  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Nr"(-a:K>_  
4tD@z%rW|g  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ~rHVg]8  
k:O3u}OL+^  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ^hJ/>bp  
PdN Z'}"S  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) 4p_xyDD  
\XBl0XM  
  [1] y6WwQLy\  
pE?iEc{7  
  两角和公式 oGC M>52'  
#3tES_bK  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB u{ 4`I:N  
^SL;}h4  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  G[(Ia*6  
PqUgGq:W  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB SfwRVG  
(ifF  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB AM2>lR4:  
ST1'k3@7  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) !%|`l  
cD?qMYmF[  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) \'D y3  
*\ mj[  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  P)r\<y  
4Zvq7>  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) n-T <E}  
yX)B!@.30  
倍角公式 QFG+07TM  
RPR>'$!^m  
  Sin2A=2SinA•CosA 9b@\N|_ku  
XNkw1P$\  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 2FZ3Vhi-  
N3xNIr  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) l~ZuQjG  
3H;gVs  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) OZN Cv  
JON.E~'  
三倍角公式 b[RIp1  
gtUz[> PM  
   Aq?.?' #Q  
>P 2 -V;`Q  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) MhFd;w[sn  
r(9FH}  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Lfb'=U[^ p  
JZnamwMl  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) n!F Q=^wC  
zjHC_D"6q  
三倍角公式推导 `PDPr z<  
Ft\~GI_%<  
  sin3a jdEsG^_  
]~d5'#>  
  =sin(2a+a) m+9& !  
T>JZWk  
  =sin2acosa+cos2asina uDRg9\o\  
Tc,;2I0  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ]+1LDmS  
..QJk\g+Q  
  =3sina-4sin³a :'^pWYfm  
Iv0 J,n?`  
  cos3a 9s%.b?AF  
/rb$ZE"KXq  
  =cos(2a+a) ,F3"iqd @  
{)N` _\C(  
  =cos2acosa-sin2asina ;dZ]xW 2  
dRIKg6=  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa &,:+3l&[m  
7*]J/"aw  
  =4cos³a-3cosa )")AD  
IJJS`nQ  
  sin3a=3sina-4sin³a  !3~au  
ArX:>l 5  
  =4sina(3/4-sin²a) A`@lcn{g  
gy~i}u&s&  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] '8y#R^  
 \I  
  =4sina(sin²60°-sin²a) iFlGz\5=J  
<73"nGM1  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) Nx8Sn]@ J  
`yp^IIPt  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] #f l^f6"  
_;)9GJ  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) s{{p+N{)VL  
NW14qd@;  
  cos3a=4cos³a-3cosa }b>/#u .rz  
!gAs0t}T{  
  =4cosa(cos²a-3/4) h#ke,eg  
4#oUx)JXR  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] nbJ_hR5VKR  
FE ,ay>Bu  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) =)<|E}_?  
S ,#4  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) CWiQ834"A  
bLl f{"M  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ; 6UO`  
].o6f;@rK  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ]kp A2  
Y+ch3>$!PX  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] )_z& XR  
y81SP;M#  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 4J@jN  
L-[lsQ z,  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) &K18gLXh  
=&g`AS~  
  上述两式相比可得 .JpE_xjq  
D(tf|m_  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) keHo/SQ  
Fsd{%&<z  
半角公式 +H@2C&F  
>]pB18r  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); )n %J!SFA  
 D}fB  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. lO%d/qu{  
qRUBcS~  
和差化积 Gx@0 qSB`  
-d6 gGpeE  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] k}3/,t  
x=:$@P&TF  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] /I=)m.&t Z  
k?<{57dwZ  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 1^5=J(!  
p=Ik P+;  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] :jNb4,r!T  
Zue;cMI  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) huZ*|Z=x  
cL!y5V  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) A1'EU_Ayrq  
- %~w#&"jR  
积化和差 _%>j{Yln\  
UtD? =/  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ):\$EwQ  
MFRVts%  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] DFExrB  
fE"3#n{F<  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] \XR:gI.7  
fa<kcE/  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 4lfQ%  
zpcB: hPZ%  
诱导公式 B6/.e/VOM  
^E8] MeK  
  sin(-α) = -sinα !s[LM2uMa  
O<)1gZ  
  cos(-α) = cosα l5<|-1-Hc{  
`#/aw  
  sin(π/2-α) = cosα 0 L3cFO]v  
pf9S^J kk  
  cos(π/2-α) = sinα `OvgR=Kk  
Pl"i0&  
  sin(π/2+α) = cosα $pL#>GBj  
B;<rv$4  
  cos(π/2+α) = -sinα f3=nW$C  
ucvv[ ,  
  sin(π-α) = sinα 3X\,;q &'  
~#iCoqy  
  cos(π-α) = -cosα r<&$J:-  
1(6 6@pmTi  
  sin(π+α) = -sinα cYv T-Qd  
W %TU-  
  cos(π+α) = -cosα kEK}OaW>  
Xs-h?Uo7L  
  tanA= sinA/cosA nx8uMit4  
uzB'JrY  
  tan(π/2+α)=-cotα qc98G=+o  
L{"I+p,"=  
  tan(π/2-α)=cotα `ot& !~m  
{&|R !   
  tan(π-α)=-tanα FV~.Hl 3J  
8+>.K)W  
  tan(π+α)=tanα ssrh`mp  
9!b 8Q  
万能公式 &|~}0fp)g  
o3^cuG'DD  
   I)LZC~B_Dn  
r,mgPTp>j  
其它公式 ^ ]Li9_  
% |jU&  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 $r(/hmb?7  
TAha0/-_  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 ] c(po~  
V'd")& x^  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 T<WF:zT{=  
&&G-eqz  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 2nP,%kin"x  
`%yls)_Y|v  
  对于任意非直角三角形,总有 >6;l^aJ:  
cjrWwMSen  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ) }k]NDL  
0rJ"F3/H  
  证: R+{[X9v  
?%nH!?  
  A+B=π-C ]0iDA>].D  
G[jJ9d4>  
  tan(A+B)=tan(π-C) u$`>&.g  
uFt\B?./g  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) "`ojb_  
Z:i+<o'  
  整理可得 }W@Aq$  
*qX^2k16  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC x?qkkOq(CV  
c~{\or[8  
  得证 3=?mYC3>g  
?tp qjoQ5  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 k$(~9Aw2)  
6dO?uq!"FS  
其他非重点三角函数 u? J<7T  
?$~MO~v+  
  csc(a) = 1/sin(a) u@l@/i  
*8u|V &S  
  sec(a) = 1/cos(a) $P?/T1  
8gB+[>  
   7q3L 5K  
W|lvEP,v  
双曲函数 j^M?-`z.  
FCMmg855f  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 J,cu;9  
Kpcbf4K  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 %Q?sCOEtZ  
1;[fNDt  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) T( .) MAg  
u?6[ 5  
  公式一: *x(,=:t]  
V*g^@SD^  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: nWCJ}8=  
Xe )+%5|  
  sin(2kπ+α)= sinα JOhu|dD  
[7j}nA?\  
  cos(2kπ+α)= cosα p4 L( q   
>xpBt)^A=  
  tan(kπ+α)= tanα N51:b/jCZ  
!Kup>P8nU  
  cot(kπ+α)= cotα p*3p+*&b  
SZxb]\G9  
  公式二: qS|X ,  
K` i.+C  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: a:MV\NN  
 "`Y)ml"  
  sin(π+α)= -sinα ) )E;]  
TcW#CF4  
  cos(π+α)= -cosα $~ "%z$  
#jv5YX'#H  
  tan(π+α)= tanα D`}m4'yBw  
&Q?V6](#  
  cot(π+α)= cotα M~oEX]Cw^~  
> eNc9  
  公式三: (SPc_!O  
WT^'=6 =9  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: '8hQa^E  
Y?pxx|]  
  sin(-α)= -sinα >!x!WnA  
21'&Ky 4e  
  cos(-α)= cosα Y@2mD(5f  
mMqpr=P@Oh  
  tan(-α)= -tanα S. j  
}I{&]hz  
  cot(-α)= -cotα ,V ( Q  
j9X$Zi0  
  公式四: okfU-lpf/  
(A[]aj  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: zo>]FO%Q  
0AA`\v  
  sin(π-α)= sinα Tm' 2qSAo  
w=\;{cN  
  cos(π-α)= -cosα = \JD2  
,xJDW0+ysl  
  tan(π-α)= -tanα x4=r*:  
R:xZg8PpY  
  cot(π-α)= -cotα .132*;  
^|STPz  
  公式五: 4kDs:z\m Z  
P/Rhz+  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: Pd(#FWz  
imbUAtE{  
  sin(2π-α)= -sinα %pep4)|q  
 1pz>3#i  
  cos(2π-α)= cosα 4LcGd|b  
Ii( T4$  
  tan(2π-α)= -tanα /3|U+D$6  
uxELot0,  
  cot(2π-α)= -cotα 699X5v;  
<#u  
  公式六: wX(CnL  
$L>,  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: Gd@w,5KU  
GtaC|.0  
  sin(π/2+α)= cosα ,HY%+<Y]L  
;KvJk|? W  
  cos(π/2+α)= -sinα ~8;O!/  
p'HU;)Za  
  tan(π/2+α)= -cotα }O'=t\  
Os^pM\@:  
  cot(π/2+α)= -tanα KPI8x"&QQ  
~w t/EX?  
  sin(π/2-α)= cosα H;=}w;x#b  
MygTw3u{  
  cos(π/2-α)= sinα *Ci(Na P_  
}bS {WmjJ<  
  tan(π/2-α)= cotα Awl&t{e8:  
*GPj\cGm  
  cot(π/2-α)= tanα *sRIYz F  
8b+,2cd  
  sin(3π/2+α)= -cosα ]bi&n?=v  
>laG*l4  
  cos(3π/2+α)= sinα Y/ULC:.sr  
=2! >Mj  
  tan(3π/2+α)= -cotα )fL(z0~  
-!$dbmeMdK  
  cot(3π/2+α)= -tanα M|=1 A,]>  
kpmuBvB^  
  sin(3π/2-α)= -cosα d-?g]^Aq  
/mbDRO]^:5  
  cos(3π/2-α)= -sinα J?I9bPs  
azq&?.@  
  tan(3π/2-α)= cotα WH%\zMS95  
.co=!,+  
  cot(3π/2-α)= tanα :<@O XG  
MytBc   
  (以上k∈Z) 4u[!R-x -  
J<s4p)5x0  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 F m9D@h/  
jj;SP}])  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = wJTLLK  
 JKTmLc  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } jA!S-F>  
0S`2)V  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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