日历

2025 - 3
日 一 二 三 四 五 六
      1
2345678
9101112131415
16171819202122
23242526272829
3031     
«月» 2025 - 3 «年»

存　档

日志文章

上一篇/ 下一篇

2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 p|4=w*  
YDlhe>N C  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. <x]bL9"+l  
qSprc0cu3  
　　1、三角函数本质： Ng2a<;2z"  
[wD6T6t  
　　三角函数的本质来源于定义 OSW}R/UN8  
9>an!lVy  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 G!?J)^'w  
p$i?IzMtZO  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 EZJl6  
V.0TLk  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： {=Y1I{y~+  
y#: 8FX:  
　　推导： A74yG6DNh  
a<NWd%~  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 0i ]w9fg  
OXlu *v7|  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) a' @:o.8~  
$z=+r4{  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) *S+H$/%C  
SIsvrcbWoZ  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 &oG{|qj]L  
 w)'?l  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） OMc9k$gk  
~Z`mAf9  
　　[1] " b\ay"CE  
.p1Y<_0_2  
　　两角和公式 -lyP'h!+F  
\8D'(YU D  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB {BUbW?%  
se6  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  $GV'2  
T-KFS1Q.  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ,rBqL2  
V^`$t R  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ]G ]82fY  
bT\a7L#  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) =e11LcQis  
@xJ{S;6  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) bR7"1G(  
8DxCG F]b  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  GQu e-9  
ma 4Zx53  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) S=yD3 s{<]  
}[*yMDBo  
倍角公式 JJ&5{ma ~  
a{%? 9K  
　　Sin2A=2SinA•CosA cScuo^)B  
pi:/f#b0  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 vG\c%  
v}">[ {z  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ?5E~U1`6  
I_9\*%  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） fsNUVI9*  
LyN6hm\h  
三倍角公式 U ){hr xg  
8QrO D]  
　　 A9,.C[Bg  
.so:+x  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 14lML3UcbS  
<fr}1|Elk  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) >#4)[f#n  
;jEVv\  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) I v<Wq.  
||8]j4E`  
三倍角公式推导 Mp{l>*V  
HR;dt 5  
　　sin3a Gz [|JA  
109e3J.k  
　　=sin(2a+a) J  ~q5  
3Cq&[;Dkz  
　　=sin2acosa+cos2asina ~C>T )  
S(0IL /vr  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina <8 3\!   
=9b7tm 0  
　　=3sina-4sin³a }_J%yGj(  
7 .% \d  
　　cos3a 5uf9}x;m  
S5K1wPl~o  
　　=cos(2a+a) rDy{yg  
NB{6 o[J  
　　=cos2acosa-sin2asina +Au1'8UM  
fION0v^a  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ,iy!B  
ixOGn%-}2  
　　=4cos³a-3cosa ']w0Qg)I  
1 lI i  
　　sin3a=3sina-4sin³a /4}Et]>Jzs  
$fygir;J  
　　=4sina(3/4-sin²a) B6C$ou8DG  
P'Q2%  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] yEX3{?  
%q]<X$N  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) n hG T  
o`=;P  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)  j!sA  
,i*E3Q  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] kZzL0>A  
pi/G6 lb'  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ^D}l^`?s  
\}.P{&` .  
　　cos3a=4cos³a-3cosa ,(`\jP  
vZ3"y__~K  
　　=4cosa(cos²a-3/4) OXAV`  
B{UC1u&D  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] x4/UR<_  
W8>c{ x  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) "xE b9ti  
1S(z%3u&p  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) eRJ{+l|  
71`HqDx6  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} VV UZ7  
0 a<@Z  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) &BQiGD?r7X  
'4.pwqE  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] &&r)!U  
My gp>, 5  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] _ 6fA% 1vR  
T%v)62  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) S"A(x0  
xD$yv['  
　　上述两式相比可得 fY<xRH+)jy  
J%@g>-B?>  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) WR}k-<J  
oe:N[kZ.pZ  
半角公式 CNV!;4H*v  
gIxHe9T  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); wPG]CbBK  
`$3xo2;6  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. (4EYPI5oL  
/m[xY.dgWU  
和差化积 GBC\#J O  
zdcr.cFQ  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] %d ,V}B+  
p*VUSsa  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] kpie\$7X$  
<Ie(C7K  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 7{WS,6vdY  
6v4^Z<O  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] +1` 3!F  
ur! P? Ci  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) `i5UUp% mS  
JU(xLh  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) h%*qaZbF  
;-A$v5  
积化和差 _4z(Z t P  
k274uf1  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] w|;a|R4If  
K-4 <hH[  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ]%qjK.>  
j;6KC\`  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 2z, 5#  
%P@+>J  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 1)B^\ Y  
P/&YfwC  
诱导公式 c}v+7<Q  
) :42B^_  
　　sin(-α) = -sinα S6]'R+  
b|OS\_HM  
　　cos(-α) = cosα /F$Q_#Wa  
d6zt 'X  
　　sin(π/2-α) = cosα o*\fIqYh  
.fk%Xu>r  
　　cos(π/2-α) = sinα *9oCvaa%  
2&n.,*3;{  
　　sin(π/2+α) = cosα tk&uP{>!  
@Q f.s  
　　cos(π/2+α) = -sinα v*p s;]  
!XAe)|M  
　　sin(π-α) = sinα b:`QTs  
1gBIJMb  
　　cos(π-α) = -cosα dR.Es  
PdBT,#  
　　sin(π+α) = -sinα =@bY9v  
uf-t8mxJ  
　　cos(π+α) = -cosα 6../9=  
6Fyl o  
　　tanA= sinA/cosA J3T,Y,v%IC  
w<[:0z  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα eIGU8  
> x8 - b  
　　tan（π/2－α）＝cotα 9LC eG:#  
4"aHE5M1w8  
　　tan（π－α）＝－tanα '9=:f Z  
5J.Z+4?}  
　　tan（π＋α）＝tanα H3O.HH  
h-#RWN  
万能公式 m_.6z&!  
Ur)uU7^:z  
　　 Jd|?=.[  
V`spv  
其它公式 \n0vFK!  
xyBx~kq &  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 HCr-YP}  
hZzC+.g_  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 R`f/vs,g  
P?b1V^{  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 W(V%r.d v  
-z4Wj"m1$  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 9qC3df  
Q1S% 8  
　　对于任意非直角三角形,总有 hurNNo |  
>F 7WrY+(:  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC EFavq3? 1  
tXEVW:h'%  
　　证: "b i-:  
2wO;i8@y  
　　A+B=π-C 7 ,lc   
slpy5XMo  
　　tan(A+B)=tan(π-C) e,  Z%  
|ku?Asyo  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) j+?[P 1  
7DeGzU "  
　　整理可得 >~bF`4Qc  
dlo{O,*1  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC <x/)t=0`x  
qWG)lI  
　　得证 <""LF O  
\r.dP]H  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ^ =U LpQ  
8]] <5A,]  
其他非重点三角函数 CBXV>"(b  
sWYLFvB  
　　csc(a) = 1/sin(a) 0_o>7  
oA8|Wtid=  
　　sec(a) = 1/cos(a) y1U3CI )5  
s" F?rM  
　　 SuOzf'o-x4  
YirI4cf  
双曲函数 L.:oq`vl  
Cf\`PyVM  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 l\UV=,  
[9^Z=x7  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 B*|t P  
;Gj<wrB?  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) `b;?jZ S   
y?jz`ou[  
　　公式一： = Oxd#  
"mX]O 9  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： O|u@'97  
y\eqsF[  
　　sin（2kπ＋α）= sinα R*GL}nK  
-S/z #^  
　　cos（2kπ＋α）= cosα  k`o2?@8  
DF$I5 s  
　　tan（kπ＋α）= tanα :7Coj$'  
K6]!o  
　　cot（kπ＋α）= cotα DTjij\_M  
$} d_,)R  
　　公式二： K=>Nuo`  
nJtHyA4'C  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：  !wb8 RM  
j(oL}G|  
　　sin（π＋α）= -sinα uY~zO.7  
LV n;]ZC  
　　cos（π＋α）= -cosα DB3\o9%e  
i tI8_6  
　　tan（π＋α）= tanα sC7_Hg=  
i7 Z$u%I-  
　　cot（π＋α）= cotα LI)u<{i>  
Laj:pJN$  
　　公式三： :~EfSJE  
lU7Ti!#cQ  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： leYnN_6Q<  
cQw1ip"?  
　　sin（-α）= -sinα }V*&|f(mk  
mYy+q9[n  
　　cos（-α）= cosα Z,)rjn)  
F y ywhf  
　　tan（-α）= -tanα 'O#Vu  
3tSBuGCkd  
　　cot（-α）= -cotα ]R{ 7V,-  
'8h(c :  
　　公式四： lNaaP7  
\;h pRk7%  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ?jj-$+FFN  
IQGk?1  
　　sin（π-α）= sinα -P2y)4  
_Og3IKz.  
　　cos（π-α）= -cosα E]Ri=v  
S (aJ@d2  
　　tan（π-α）= -tanα M|9,W;=  
a6US4id?  
　　cot（π-α）= -cotα g"I!HXx#f  
D+Mv-IJ'  
　　公式五： G2Y~T4  
0,Z/"e"  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： y'&w)-3  
V"Yx  
　　sin（2π-α）= -sinα !!z 66]cK  
!Xe3nK(~:  
　　cos（2π-α）= cosα VB}QiT#4$Z  
\!t)^YVy  
　　tan（2π-α）= -tanα --t[^5A  
OQ77 WI7  
　　cot（2π-α）= -cotα urGl&B$  
sdi7B~!dT  
　　公式六： jgR c^hQD  
j;D/?W /  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 0&* sP4jh^  
PvKz,UO|  
　　sin（π/2+α）= cosα dMVD|L/4%  
qQqN16Xr+  
　　cos（π/2+α）= -sinα Bl VPMt!0  
Upl#(1>*N  
　　tan（π/2+α）= -cotα x| >Q  
eSq&},{]  
　　cot（π/2+α）= -tanα - Q2}X  
LH W31 ?  
　　sin（π/2-α）= cosα :Eurv3"  
 #+3 =w  
　　cos（π/2-α）= sinα I.^Ac(h  
ud's{4F6X  
　　tan（π/2-α）= cotα $}AG&_p q  
[^On"HR&  
　　cot（π/2-α）= tanα IVJ:\fiUR  
A"!b0]  
　　sin（3π/2+α）= -cosα tv <zL!  
(P+Yi_4_  
　　cos（3π/2+α）= sinα Y  4AaJ  
;o=[NPQ  
　　tan（3π/2+α）= -cotα '\ivY1y&  
pK\If|9  
　　cot（3π/2+α）= -tanα i"vTm^YiF`  
~u>7F"h  
　　sin（3π/2-α）= -cosα iX /OPr  
gq: .6!  
　　cos（3π/2-α）= -sinα '|7cQ*}  
n(6W?>m  
　　tan（3π/2-α）= cotα if@%{"w>a  
4d}/k5Q9  
　　cot（3π/2-α）= tanα \hBv_B 7  
]H #N 4  
　　(以上k∈Z) wffa+4NS_  
m le!"-2  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 @{HnR|5s  
e3'?xML$r  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = LP gt _i  
_Jrp;  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 1~@Q>/:  
R\5o ;vtc  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
类别： 收藏 |  评论(0) |  浏览(15772) |  收藏