日历

2025 - 3
日 一 二 三 四 五 六
      1
2345678
9101112131415
16171819202122
23242526272829
3031     
«月» 2025 - 3 «年»

存　档

日志文章

上一篇/ 下一篇

2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 /5[U*[+A  
_PW3usy6.  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. L/{*gK2"  
!$(A NO+  
　　1、三角函数本质： &~41?XWi  
/jdN6  
　　三角函数的本质来源于定义 9|Q^@m#P  
gr3#!@  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 9*zSd^-"v  
G#Hm"!T[  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 `|B9`(?PF  
8~ VQ[ 5H  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： nf#/Rro[  
iXXwW:UK  
　　推导： Mcprc]ua  
0Dg4~l{<  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 9z~M*6 f  
{/ljca(Dx  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 9--Bp  
sU)jPs\x&  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) @d1Ckn==7p  
=LS{kHtB^y  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 Xt:(F>hZ  
Ff9+/OX  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） sqb3:Kk@  
%R34ny,  
　　[1] C~h&c:  
,HK &g\~G  
　　两角和公式 ^p:fPDD}s  
|de lH\0  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB \;Wu8)bRF  
l9w%fWNl  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  =.SB xd"  
%B.Lm95  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 9 srFq.H  
ut 7 r  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB =>&x '+L  
TCRj+(%%5e  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 3|yz#Y@b  
:8OhZ ;i3  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 3Yh 9 b  
$B5..z-.6  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  I`/bTE) ;  
wX\'np'&G  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) TbjYcg  
gDlJ[q^Xc  
倍角公式 |B.N i#  
]:%#,LQu  
　　Sin2A=2SinA•CosA P&-Pe{:y  
j6 XJiyZ&  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 :]+<am  
OUucQ} b  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） b>:\%9iNz  
+.at@ >*  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） vV,jWIg!m  
ykva[D\JA  
三倍角公式 Jb>Pfj0Dh  
vC f%s^\  
　　 VDp<;e(dD  
mBS%2?G,Z  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)  A>:#;  
fXcp&P);  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ynv+dMH %  
0?:_}kn  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)  hb< )  
Dv^|%/R  
三倍角公式推导 <tnX[_:Z0  
rJ>5FF9  
　　sin3a  Y)m3gtL  
=GGLMegP<  
　　=sin(2a+a) }t`<,ylJ  
8V=.kTR  
　　=sin2acosa+cos2asina W*-Dc!_z  
>qy RhC]  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina [28KnEp-$  
vNTmmmTzf  
　　=3sina-4sin³a IN4FBE9[  
b}5g5Pi  
　　cos3a N &J6lRE1  
E'QrWc>`  
　　=cos(2a+a) %H\Qih&  
r SzJ2].  
　　=cos2acosa-sin2asina >e4[~m.:  
dkXw#  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ALc$Rw7  
Qx.>j%N  
　　=4cos³a-3cosa c^MZCW#2c6  
(blV]~mY:  
　　sin3a=3sina-4sin³a 5< 32P  
62Yz Hh  
　　=4sina(3/4-sin²a) EvR# n3|2  
s*p;|_5l  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] EO1K@U Z  
-% ;:l3N  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) TnPiXT@  
{[OvRsi  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) vcu:<}  
g:Ad.?hyb  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ; E[5M9j1  
p{S%z+v|  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) b`LP\cS@  
69l:xp  
　　cos3a=4cos³a-3cosa TvW$$ -,0  
jKD<P\  
　　=4cosa(cos²a-3/4) @5oxE)7  
cFb!gX\/F  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 3vJb ]Dj  
)[.HVUA 0n  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) t.g n  
0 =~+]Rd%  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) .t[Ac(^jj_  
Q aDJyVk  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} {HJu{mkez  
wAq%9QZ]  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) pK$[~cZh"  
O/sJk^N$s  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] txO,rMJV  
)mEVW7I  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] Gn6D`PD  
hRJP$1sE&  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) c F\t$Cd  
;R T {T  
　　上述两式相比可得 )q Rj4y  
!ef]?~<  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 3Yv,z@zS  
&"F tO^_K  
半角公式 Qhn-N&3'  
BD3zSL_  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); `}Li^{X  
VVv{]AW]  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. %UOz}/W  
WiXoMY8  
和差化积 JYsi;9  
(2gI4=#  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] }B]-!lY%?  
,b9\8VI]  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Z+gdEo[AS#  
71cjz $  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] m&PY7g  
xKJJ$q,|P  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] _u34piM6X  
uXE2   
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) Wdr5[~;  
H Tr_Z=  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) U!]*t0e t  
ELeE :Sin  
积化和差 {1 ]<dJjG  
&uLwZ]  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] tD 1="  
!eZszN =t  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] a3bv(LlO  
w[{RlW!|,  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 4Qgxq%  
Wx N17  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] #+hY x  
`do/" C9  
诱导公式 >9>4%+IS  
 !I6v](  
　　sin(-α) = -sinα nC-qY?  
1<:$De9  
　　cos(-α) = cosα 2 -};nh.  
B0z R~zE8  
　　sin(π/2-α) = cosα  MV}|  
(FJ.8PP'p  
　　cos(π/2-α) = sinα ` =RL@b@  
P+)"mb?m  
　　sin(π/2+α) = cosα P;3F*N90O  
 )E=j]3DJ  
　　cos(π/2+α) = -sinα H,T;%LV  
D\3Qf>f~C  
　　sin(π-α) = sinα $r{h&g>o  
)0+a*RwT  
　　cos(π-α) = -cosα JXL;[UL  
]96|UoH3  
　　sin(π+α) = -sinα m1 h=\/Vf  
[B!DpI9  
　　cos(π+α) = -cosα ,0=J B4  
F}:Ug;|{#  
　　tanA= sinA/cosA _Lc9 "szy  
4Q5NV?6O+  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα cIh+#-@#  
0jKgd-t  
　　tan（π/2－α）＝cotα 7H"|Kp  
/.Q9c9x%f  
　　tan（π－α）＝－tanα U81F<)QT  
Nd<i dD  
　　tan（π＋α）＝tanα f.tQbeq^  
sY^bAmGr  
万能公式 t[:"af/V  
_oj]yN~I  
　　 $:8t7`k =  
(wmM9N%Z7  
其它公式 j}&O `  
L?]]%s'Ed  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 Z~9oXv  
4xKL8]S  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 @>OSGqq  
5&MH5lr|  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 fxDL>XT b  
PFIkH+igo  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 S;#}plos  
j/q@><!+  
　　对于任意非直角三角形,总有 xfslS~  
 3hy+<2  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC _p*NM&_  
0sJF<Sc  
　　证: $P dL!%Z  
%K%Jz(vPr  
　　A+B=π-C CB@{ _0  
~whH1z9  
　　tan(A+B)=tan(π-C) Co`X,eh1  
KhvfZa=.D  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) bhpk2%I  
m2=rg_h4M  
　　整理可得 acB8-97;z  
>AD{@l-^#  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC $~ 6 S_R#  
,u9"}94  
　　得证 g$-5fv   
kq0ge =#m  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 .rz7T:D  
.)&N3p?  
其他非重点三角函数 w_<rlQ 6  
pCuWE#ahC  
　　csc(a) = 1/sin(a) bIin [O6  
mT~BxWB1D  
　　sec(a) = 1/cos(a) dE&gqb`  
UC;$FBKzO  
　　 7#728:VNm  
]hi$4dGe=J  
双曲函数 bF$  
2u| 89  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 RLuZaWu+C  
Y$Dut=  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 Q/XNL~')T  
CdY@R}mt  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) BLEOqShg  
KE)R H  
　　公式一： +>l #^=F  
cqY -/l-G  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： G2=Gz  
SIR)D#BI  
　　sin（2kπ＋α）= sinα TD5%t Uzh  
TncW?4}  
　　cos（2kπ＋α）= cosα krJBj'R>  
@v?Ybi.4  
　　tan（kπ＋α）= tanα 6#pzn&u  
tgkT(1%  
　　cot（kπ＋α）= cotα xJ J[Uk[m  
X|@cS92  
　　公式二： o\eCHYU  
kH rA_~  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： g=B>Xs}O-  
cVhfFb  
　　sin（π＋α）= -sinα IN#zn0  
kn{Mr]j7  
　　cos（π＋α）= -cosα jF>.Kh`S9  
0bXFO[\  
　　tan（π＋α）= tanα 0`RXh$z  
Z"Wnl5H 21  
　　cot（π＋α）= cotα }pc08xtG!  
vg 0z~6  
　　公式三： ]i-z+b'^3-  
(Ula+$s,!  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： "/<\" tE  
3e%X:II)  
　　sin（-α）= -sinα NW=e <  
n7bBpzz:  
　　cos（-α）= cosα <%:N<l  
2L3']U2J  
　　tan（-α）= -tanα ?J?C?(   
sA'Oz4  
　　cot（-α）= -cotα /?hp+7aH  
.,!(P?EL  
　　公式四： ,I$J9iK  
"pJdP~^G  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： C,#p+7x5  
 mlI"@bK  
　　sin（π-α）= sinα z7b(SFR2  
 W(FWr  
　　cos（π-α）= -cosα C`U%'RN  
|}YjT%  
　　tan（π-α）= -tanα xEm-i 7  
5('M0x  
　　cot（π-α）= -cotα s{9!oLI\r  
]>T)T+m  
　　公式五： Lw $K#k_w  
g>b3(&c3  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： yS0txyy  
O0 :.i1P/*  
　　sin（2π-α）= -sinα b2z^W bc{  
UX)_ytCm  
　　cos（2π-α）= cosα [O`sMz"  
|F^$ Z%  
　　tan（2π-α）= -tanα ]/ '2_U  
O"SA11Ah  
　　cot（2π-α）= -cotα Uc<[:+|n  
VL$|*<Rh  
　　公式六： \|A2(AO[  
s1`qB[Jt  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： OG8SG#CV  
Mh!+29+>v  
　　sin（π/2+α）= cosα bBC3Y3   
H{C6\t  
　　cos（π/2+α）= -sinα |Z; vRE  
tQ  4Q  
　　tan（π/2+α）= -cotα 6y%Cb2V%2  
)! D,-*s  
　　cot（π/2+α）= -tanα Q l{X=3K  
~_4#%6b,4  
　　sin（π/2-α）= cosα U 4:C]`  
T =D;  
　　cos（π/2-α）= sinα if;7j `!X;  
Z$ 8Zmp  
　　tan（π/2-α）= cotα 8.MGS  
PG4thx{cr`  
　　cot（π/2-α）= tanα '2]Lr !sB  
Y6c.p}pI  
　　sin（3π/2+α）= -cosα )g!^|=NK,_  
9dF}[ 42*  
　　cos（3π/2+α）= sinα qAY_4%~H  
<e2DF_\LT  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 0Ae `K  
nH3vQZWj  
　　cot（3π/2+α）= -tanα fE(V$Dor&  
MJq"9#Q   
　　sin（3π/2-α）= -cosα ewLsS[e  
6>.k{TH  
　　cos（3π/2-α）= -sinα t Rm|5s  
Zy<YLD:ALr  
　　tan（3π/2-α）= cotα =e&}#na  
`"/izrh  
　　cot（3π/2-α）= tanα *H(9mq v  
!.@[  
　　(以上k∈Z) ; 4{YP-  
 /}cy0w  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 %[,l+DL=  
V!~<!\  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = S0\ qC^:  
AmU{O4o=  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } +?7)Ipndwa  
I;E06bRX  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
类别： 收藏 |  评论(0) |  浏览(15745) |  收藏